Фамилия Вергейчикова — женская форма от Вергейчиков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Вергейчик. Разберём, что стоит за этой цепочкой.

Основа — «Вергей». Это может быть фонетический вариант имени Вергей (от латинского Virgilius — Вергилий, популярное в католических святцах) или диалектная форма имени Егор (Георгий). В белорусских и украинских говорах звук «в» нередко появлялся перед начальным гласным: «в Егор» — «Вергей». Такое явление называется протезой, и оно хорошо знакомо ономастам по фамилиям вроде Веремей (от Еремей) или Варфоломей (от Варфоломей, но с иным корнем).

Суффикс «-чик» в прозвище Вергейчик указывает на молодого человека, сына или ученика: буквально «маленький Вергей» или «сын Вергея». Это уменьшительно-патронимическая модель, распространённая в западных регионах Российской империи, особенно на территории современной Беларуси и Смоленщины. Сравните: Кузьма — Кузьмич — Кузьмичев, но Вергей — Вергейчик — Вергейчиков.

Фамилия Вергейчикова, таким образом, означает «дочь или жена Вергейчика». Появление конечного «-ова» — стандартная русификация белорусской фамилии при переходе в официальные документы: мужское Вергейчиков превращалось в женское Вергейчикова.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России и востоку Беларуси. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении: скорее всего, один род дал начало всем носителям. Прозвище Вергей, скорее всего, дали либо человеку с какими-то чертами, напоминающими античного поэта (редкость), либо, что вероятнее, крестьянину, которого в быту звали Вергеем — от имени Егор, очень распространённого в крестьянской среде.

Никаких сведений о дворянском происхождении или принадлежности к известному роду нет. Фамилия типично крестьянская или мещанская, образованная по живой модели народной ономастики.