Фамилия Вериенко — украинская по модели образования, что сразу видно по суффиксу -енко. В украинской ономастике этот суффикс примерно соответствует русскому -ов/-ев: он указывал на сына или потомка человека, названного в основе. То есть носитель фамилии Вериенко — потомок некоего Вери (или Веры), причём с характерным украинским чередованием: основа Вер(а) + суффикс -енко, а конечный -а отпал, как это обычно бывает при присоединении суффикса.

Сложность в том, что основа «Вер-» неоднозначна. Самое прямое объяснение — от имени Вера, которое было не только календарным христианским именем, но и в народной среде могло быть прозвищем или мирским именем. Однако в украинских фамилиях на -енко часто закреплялись прозвища, а не только крестильные имена. Поэтому возможна и другая версия: основа от глагола «вірити» (верить) или от слова «віра» (вера) в значении «доверие, верность». Тогда Вериенко — потомок человека, которого прозвали Віра за честность или за то, что он был верным слову. Такие прозвища по моральным качествам давали нередко.

Третья, более редкая версия — связь с диалектным украинским словом «верій» (в некоторых говорах — «верея», столб или веретено). Но это маловероятно: фамилии от названий предметов обычно образуются через суффикс -енко реже, чем от личных имён.

Географически фамилия Вериенко распространена в центральных и восточных областях Украины, особенно на Полтавщине и Черкащине, где суффикс -енко исторически был самым массовым. В России она встречается реже, чаще как украинская по происхождению. Сословной привязки нет: фамилии на -енко носили и казаки, и крестьяне, и мещане — это была стандартная модель для всей украинской территории в XVII–XIX веках.

В написании возможен вариант с двумя «е» — Вереенко, но форма Вериенко закрепилась как основная. В документах XIX века встречается и через «ѣ» — Верѣенко, что отражает старое правописание. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был украинцем по происхождению, а его отец или дед носил имя или прозвище Вера.