Фамилия Вирюжский — один из тех случаев, когда география подсказывает ответ быстрее, чем разбор слова по частям. В отличие от большинства русских фамилий, которые строятся от имени или прозвища отца, эта указывает на место, откуда человек родом. Суффикс -ский в русской ономастике почти всегда маркер географического или топонимического происхождения (сравните: Тверской, Рязанский, Казанский). Так что предок Вирюжского был выходцем из места, в названии которого звучит основа «Вирюж».

Где искать это место? Вероятнее всего, на Русском Севере или в Вологодской области. На карте можно найти реку Вирюга (приток Сухоны) и несколько деревень с похожими названиями — Вирюгово, Вирюгино. В этих краях слово «вирюг» или «вирюга» в местных говорах могло означать нечто крутящееся, вертлявое, бурное — от древнего корня, родственного «вир» (водоворот, омут) и «виться». Если речка Вирюга быстрая и петляющая, прозвище «Вирюга» мог получить человек беспокойный или живущий у такой воды. Но для фамилии на -ский связь с конкретным селом или рекой — первична.

Есть и более простая, бытовая версия. Фамилия могла возникнуть не от названия на карте, а от прозвища Вирюга — так в некоторых диалектах называли визгливого, капризного человека или того, кто «виружит» (суетится, вертится). Но эта гипотеза слабее: если бы основа была прозвищем, фамилия скорее приняла бы форму Вирюгин или Вирюгов (по модели Иванов, Петров). Форма на -ский жёстко привязана к топонимике — это фамилия дворянская, семинарская или, что чаще в данном случае, фамилия крестьянина, переселившегося из одной деревни в другую и получившего прозвание по прежнему месту жительства.

Сословная принадлежность Вирюжских, скорее всего, невысокая. В XIX веке такие фамилии на -ский нередко давали в духовных училищах семинаристам по названию их родного села, но для Вирюжского это маловероятно — нет известных храмов или погостов с таким именем. Чаще всего это крестьянская или мещанская фамилия, закрепившаяся за родом, который перебрался, например, из деревни Вирюгино в город или в другую губернию. В переписных книгах Вологодской и Архангельской губерний можно найти следы носителей этой фамилии — она редкая, локальная, не разошедшаяся широко по стране.

В написании фамилии стоит обратить внимание на букву ю. Если бы корень был «вир» (от слова «вира» — денежный штраф в Древней Руси), фамилия звучала бы как Вирский или Вировский. Присутствие «ю» однозначно отсылает к диалектному «вирюга» и северным говорам. Так что, если вы Вирюжский, ваши корни — где-то в междуречье Сухоны и Северной Двины, в краю лесов и быстрых речушек, а фамилия буквально переводится как «тот, кто с Вирюги».