Фамилия Влезкова — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка было связано с манерой поведения, а не с внешностью или профессией. Корень здесь — глагол «влезть» (в древнерусском — «влѣзти»). Прозвище Влезок или Влезко могли дать человеку навязчивому, пронырливому, тому, кто «влезает» не в своё дело, или, наоборот, ловкому, умеющему проникнуть туда, куда другие не могут. В говорах встречалось ироничное «влезчивый» — о слишком любопытном или назойливом.

Модель образования типична для восточнославянских фамилий: прозвище на -ко (Влезко) оформилось притяжательным суффиксом -ов. Форма Влезков — это «чей?» — сын или потомок Влезка. Окончание женского рода Влезкова указывает на то, что носительница — женщина, либо что фамилия стоит в исходной форме (как в документах). Интересно, что суффикс -к- в основе прозвища мог выполнять и уменьшительную, и уничижительную роль, так что прозвище могло быть не только описательным, но и с оттенком насмешки.

Фамилия крайне редкая. В исторических источниках и словарях она не зафиксирована, что говорит о её локальном бытовании — скорее всего, в одной из северных или центральных областей России, где глагол «влезть» сохранял древнюю форму с корнем «лез-» (ср. «влез», «залез»). По сословной принадлежности предки могли быть крестьянами или посадскими — прозвища такого типа редко давали в дворянской среде.

Однокоренных фамилий немного: Влезлов (с суффиксом -л-, указывающим на деятеля), Влезкин (с другим патронимическим суффиксом). Все они восходят к той же прозвищной основе. Если ваши предки носили фамилию Влезкова, можно предположить, что родоначальник был человеком заметным в своей общине — пусть и не всегда с положительной стороны.