Фамилия Влизько звучит нехарактерно для русского уха — и это верный признак украинского происхождения. Её выдает суффикс -ко, один из самых распространенных в украинской антропонимии, где он выполняет ту же роль, что русские -ов или -ин: указывает на принадлежность, потомка или носителя признака. По модели образования Влизько — типичное украинское прозвище, которое закрепилось как фамилия без дополнительных патронимических суффиксов.

Основа фамилии — «Влизь» или «Влиз». Здесь возможны два объяснения, причем одно из них почти наверняка ошибочное. Самое простое и соблазнительное — связать корень с глаголом «влезть» (укр. «влізти»). Тогда прозвище Влизько могли дать человеку навязчивому, пробивному, тому, кто «влезает» не в свои дела. Но в украинском языке форма «вліз» звучит иначе, а фамилия с таким корнем встречается крайне редко — это настораживает.

Гораздо правдоподобнее версия, что в основе лежит украинское слово «влiзок» или «влiз» — диалектное обозначение отростка, побега растения, черенка для прививки. В говорах так могли называть человека, который занимался садоводством или прививкой деревьев, либо же дать прозвище по внешнему сходству — худой, тонкий, «как отросток». В пользу этой версии говорит и то, что украинские фамилии на -ко нередко образовывались от названий занятий или предметов быта.

Фамилия Влизько почти не встречается за пределами Украины, её географическое ядро — центральные и северные области. В дореволюционных метрических книгах она фиксируется в Черниговской и Полтавской губерниях. Носители, судя по всему, были крестьянами или казаками, поскольку фамилии на -ко в этой среде — обычное дело. Дворянских родов с такой фамилией не известно.

Итог: Влизько — украинская фамилия, образованная от прозвища по роду занятий (садовод, прививальщик) или по внешнему признаку, с типичным суффиксом -ко. Версия с «влезть» маловероятна из-за фонетического несоответствия.