Фамилия Возеркаев образована по распространённой на Кавказе и в Поволжье модели: к основе прозвища или имени прибавляли суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?»). Значит, предка звали Возеркай.

Скорее всего, Возеркай — это диалектный, то есть местный по произношению, вариант тюркского имени Вазиркай. Слово «вазир» пришло из арабского языка и означало «министр», «визирь» — высокий сановник при правителе. Уменьшительно-ласкательный суффикс -кай делал имя более домашним, ласковым. Так что имя Вазиркай, а затем и Возеркай могли дать ребёнку, желая ему в будущем почёта и высокого положения, либо как прозвище взрослому человеку, который служил при знати или отличался степенным нравом.

Фамилия редкая, встречается в основном у народов, испытавших влияние тюркских языков и ислама, — например, у кумыков, балкарцев, татар. Переход звука «в» в «о» в начале слова (Вазиркай → Возеркай) — характерная черта некоторых тюркских говоров, а также возможное влияние русского «акающего» произношения, когда первый звук округляется.