Фамилия Вязовкин — одна из тех, что образованы от прозвища или названия места, а её разбор упирается в слово «вяз». В основе лежит прозвище Вязовка, а оно, в свою очередь, связано с деревом вязом. Древесина вяза — гибкая и прочная, из неё издавна гнули полозья для саней, ободья для колёс, делали детали для машин и механизмов. Поэтому первая, ремесленная версия происхождения: предок Вязовкиных мог быть мастером, который работал с этим материалом — столяром, колёсником или санником.

Модель образования фамилии проста: прозвище Вязовка плюс притяжательный суффикс -ин. Такая модель (на -ин) в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность: «чей?» — «сын Вязовки». Это одна из самых распространённых словообразовательных схем в северных и центральных областях России.

Но есть и вторая версия, не менее правдоподобная. Прозвище Вязовка могли дать не по роду занятий, а по месту жительства. По стране разбросано много сёл и деревень с названиями Вязы, Вязово, Вязовка, Вязовское. Такие топонимы обычно возникали там, где росло много вязов или где это дерево имело хозяйственное значение для всей округи. Переселенец из такого села легко получал прозвище Вязовка, которое затем закреплялось за его потомками уже как фамилия.

Какая из версий точнее — сказать сложно, но обе укладываются в логику русской ономастики. Спор между «ремесленной» и «географической» гипотезами здесь не принципиален: в обоих случаях фамилия плотно связана с материальным миром — либо с деревом как материалом, либо с местом, где это дерево росло. В любом случае, Вязовкины — это люди, чей род так или иначе был отмечен через вяз.