Фамилия Выржыковская — редкий случай, когда написание сразу подсказывает, где искать корни. Суффикс -овск- и окончание -ая указывают на польско-украинскую или белорусскую модель образования, типичную для шляхетских фамилий на -ский/-цкий. Но здесь есть важная деталь: буква «ы» после «р» — это не ошибка и не опечатка, а диалектная или историческая черта. В польском языке звук «ы» передаётся буквой «y» (Rzyżkowski), а в русской передаче через «и» или «ы» — в зависимости от региона. Так что Выржыковская — это скорее всего вариант фамилии Выржиковская или Выржыковский, который закрепился в документах.

Основа фамилии — корень «вырж-». Он восходит к древнерусскому или польскому слову «выргать» (изрыгать, выплёвывать) либо к «рыгать» с приставкой «вы-». В старину так могли прозвать человека с громким голосом, крикливого или того, кто работал с чем-то вонючим (например, кожевник или золотарь). Но есть и более прозаичная версия: в польских говорах «rzygać» означало «блевать», а «rzygacz» — «неряха, грязнуля». Прозвище Выржык или Выржыга давали человеку неопрятному или с дурной привычкой. Впрочем, в ономастике такие «неблагозвучные» прозвища часто теряли первоначальный смысл и становились нейтральными фамилиями.

По географии фамилия Выржыковская встречается в основном на западе Украины (Волынь, Подолье) и в Беларуси, реже — в Польше (как Rzyżkowska). Это указывает на то, что носители происходят из шляхетских или крестьянских родов, которые в XIX веке получили фамилии по названию имения или местечка. Возможно, существовал хутор Выржыки или Выржыково, от которого и образовалась фамилия. В таком случае прозвище предка стало топонимом, а затем и родовым именем.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Выржиковский, Выржык, Рыжков, Рыгалов) показывает, что суффикс -овск- здесь указывает на более высокий социальный статус — часто так оформляли фамилии дворян и зажиточных крестьян. Однако в советское время эта фамилия могла утратить связь с сословием и закрепиться в разных семьях. Точных данных о численности носителей нет, но по открытым базам — фамилия крайне редкая, не более нескольких десятков человек на всю Россию и Украину.

Итог: Выржыковская — фамилия с польско-украинскими корнями, образованная от прозвища или топонима, связанного с глаголом «выргать». Несмотря на неблагозвучную основу, она не несёт негативного оттенка в современном языке и говорит о том, что предки жили на западе славянских земель и, вероятно, принадлежали к служилому или крестьянскому сословию.