Фамилия Ярбабаев — редкий случай, когда основа, скорее всего, не тюркская, а персидская, и указывает не на род деятельности, а на личное качество или прозвище. Разбираем её по частям.

Первая часть, «Яр», восходит к персидскому «йар» (یار) — «друг», «товарищ», «помощник». В тюркских языках, через которые слово попало в русские фамилии, оно также могло означать «возлюбленный» или «спутник». Вторая часть, «баба», в тюркских языках — «отец», «дед», а также уважительное обращение к старшему или духовному наставнику. Суффикс «-ев» — русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность («чей?»).

Таким образом, исходное прозвище или имя «Ярбаба» можно перевести как «друг-отец» или «товарищ-дед». Вряд ли это было имя в прямом смысле — скорее, прозвище, данное человеку, который был надёжным другом для старших или, наоборот, мудрым наставником для младших, другом, похожим на отца. Встречаются и более буквальные версии: «Яр» как «обрыв» (тюркск.) — тогда «Ярбаба» могло быть топонимическим прозвищем человека, жившего у обрыва («дед с обрыва»), но это предположение слабее, так как первая версия объясняет личное имя, а не место.

Фамилия характерна для народов, говорящих на тюркских языках с сильным персидским влиянием: азербайджанцев, татар, туркмен. Географически чаще всего встречается в Азербайджане и среди азербайджанской диаспоры в Дагестане. Редкость фамилии в том, что модель «Яр- + имя/прозвище» нетипична для русских фамилий: обычно в тюркских фамилиях «яр» (друг) стоит в конце (например, Гюльяр). Здесь же он вынесен в начало, что делает словообразовательную конструкцию заметной и нешаблонной.