Фамилия Юркинский — один из тех случаев, где спорить о происхождении почти не приходится. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ский, что сразу указывает на её географическое или топонимическое происхождение. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще всего означали «сын такого-то» или «принадлежащий», суффикс -ский в русской традиции закрепился за теми, кто был связан с конкретной местностью: выходец из села Юркино, Юрки или Юрков. Так что человек по фамилии Юркинский — скорее всего, потомок того, кто жил в одном из населённых пунктов с корнем «Юрк-».

Корень «Юрк-» в основе фамилии восходит к русскому прозвищу или имени Юрка — уменьшительной форме от канонического имени Юрий (Георгий). В народной среде Юркой называли не только человека по имени, но и того, кто обладал юркостью: быстрого, проворного, увёртливого. В этом смысле фамилия могла бы образоваться напрямую от прозвища, но суффикс -ский здесь решающий: он почти всегда «привязан» к названию места. Поэтому версия с прозвищем в чистом виде (Юрка → Юркинский) маловероятна, разве что если прозвище стало названием поселения.

Географически фамилия редкая, но встречается в центральных регионах России и на Урале. В XVIII–XIX веках такие фамилии часто получали священнослужители и выходцы из духовного сословия, а также переселенцы, записанные по названию деревни. Если ваши предки носили фамилию Юркинский, стоит заглянуть в списки населённых мест: скорее всего, найдётся село или хутор Юркино, Юрки, Юрковка — их много в бывших Рязанской, Владимирской, Костромской губерниях. Связь с конкретным топонимом — самая надёжная нить для поиска корней.