Фамилия Юцикова — женская форма мужской фамилии Юциков. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать словообразовательную цепочку: в основе лежит имя или прозвище Юцик, к которому добавили типичный русский суффикс принадлежности -ов-, давший форму Юциков. Суффикс -ик в исходном прозвище — уменьшительный, характерный для северных и центральных говоров (сравните: Ваня — Ваник, Коля — Колик). Таким образом, Юцик — это ласкательное или обиходное именование человека по имени Юрий (в народной форме Юра) или, реже, по имени Юда (каноническое Иуда, которое в крестьянской среде не считалось табуированным, а воспринималось как обычное имя). Вторая версия — основа от прозвища, связанного с глаголом «ютить» (в некоторых говорах — «ютиться», «прятаться», «давать приют»). Тогда Юцик — «тот, кто ютит», то есть привечает, укрывает, или наоборот — «тот, кто сам постоянно ютится». Эта версия менее вероятна: прозвища на -ик от глагольных корней встречаются реже, чем от имён, но полностью исключать её нельзя, особенно если фамилия бытует в местности, где слово «ютить» было употребительно.

Фамилия редкая, географически привязана в основном к Поволжью и Уралу: встречается в документах по Самарской, Оренбургской областям и Пермскому краю. Это указывает на сравнительно позднее закрепление фамилии (XVII–XVIII века), когда крестьяне и посадские люди получали фамилии по имени отца или по прозвищу. Сословно предки Юциковых, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами, реже — мещанами. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Интересная деталь: написание фамилии с буквой «ю» в начале — показатель того, что корень не утратил йотированного звучания. В других фамилиях от имени Юрий (Юриков, Юрков) начальный звук упрощался, а здесь сохранился, что говорит о более бережном отношении к исходной форме прозвища. Если ваши предки — Юциковы, то их родовое имя восходит к человеку, которого в быту звали ласково Юцик, то есть, скорее всего, к обладателю имени Юрий.