Фамилия Ююзько — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, а происхождение упирается в одно-единственное слово. В основе лежит украинское или южнорусское прозвище «ююзь» или «ююз» — диалектное название угря. В говорах Черниговщины, Полтавщины и соседних областей так называли скользкую, верткую рыбу, а заодно и человека с соответствующим характером: уклончивого, изворотливого, того, кто «выскользнет» из любой ситуации.

Суффикс -к- и окончание -о указывают на украинскую модель образования фамилий с уменьшительно-ласкательным или, чаще, прозвищным оттенком. Форма Ююзько — это буквально «маленький угорь» или «сын (или потомок) того, кого прозвали Ююзом». Такие фамилии на -ко (Ююзько, Гузько, Бороздко) типичны для Левобережной Украины и юга России, где прозвища часто становились родовыми именами без добавления патронимических суффиксов.

Встречается фамилия преимущественно в Черниговской и Сумской областях Украины, а также среди потомков переселенцев на Кубани и в Ставрополье. В дореволюционных метрических книгах Ююзько фиксировались в основном как казаки или крестьяне. Двойная «ю» в начале — не опечатка и не искусственное удвоение: это следствие того, что диалектное слово произносили с отчетливым йотированным звуком на стыке, и на письме это закрепилось двумя буквами «ю» подряд.

Спорных версий немного. Иногда пытаются связать фамилию с тюркским корнем «юз» (сто, лицо, след), но это натяжка: географически и фонетически версия с угрем убедительнее. Если ваши предки — Ююзько, то, скорее всего, первый носитель получил прозвище за неуловимость или сходство с рыбой, а фамилия закрепилась на украинском Левобережье не позднее XVII–XVIII веков.