Фамилия Забажанов — редкий случай, когда основа прозвища почти наверняка связана с диалектным глаголом «забажать», то есть «сильно захотеть, возжелать, запросить». В русских говорах, особенно южных и поволжских, «бажать» означало «желать, жаждать, стремиться». Соответственно, «забажа» или «забажан» — это человек, который чего-то страстно хочет, капризный, требовательный, или, наоборот, тот, кто умеет настоять на своём, «добиваться своего до забажу». Прозвище могло закрепиться и за тем, кто постоянно просит, клянчит, или за человеком с сильной волей и амбициями. Суффикс -анов указывает на типичную русскую модель образования фамилий от прозвищ на -а/-я: Забажа → Забажанов (буквально «сын Забажи»). Вариант с суффиксом -анов, а не -ев, говорит о том, что основа заканчивалась на твёрдый согласный (в именительном падеже — Забажан, в косвенных — Забажана). Фамилия нечастотная, но географически привязана к регионам, где активно бытовал глагол «бажать»: это юг России, Поволжье, отчасти Сибирь (куда переселенцы принесли говор). Встречается также украинский аналог — Забажан, где ударение часто падает на второй слог, и фамилия образована от того же корня, но уже в украинской языковой среде. По сословному составу Забажановы, скорее всего, крестьянского или мещанского происхождения — прозвище бытовое, не книжное, и вряд ли принадлежало духовенству или дворянству. В дореволюционных записях фамилия могла писаться с одним «н» — Забажанов, что не меняет этимологии. Если ваш предок — Забажанов, он, вероятно, был человеком с характером, не привыкшим отступать от желаемого.