Фамилия Забажанова — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка было связано с диалектным глаголом «забажать». В южнорусских и украинских говорах это слово означало «сильно захотеть, возжелать, запросить». Человек, которого прозвали Забажан, мог быть либо очень настойчивым, требовательным, либо, наоборот, тем, кто быстро загорается желанием и так же быстро остывает. Других корней, кроме глагольных, у фамилии нет: «бажаный» — желанный, долгожданный, но здесь приставка «за-» меняет оттенок на активное действие, а не на состояние.

Модель образования проста: прозвище Забажан (с суффиксом -ан, характерным для украинской и южнорусской антропонимии) плюс патронимический суффикс -ов и окончание -а. Это типичная русская фамилия, которая говорит, что предка звали Забажан, а его потомки стали Забажановыми. Форма на -ова — женская, но в бытовом употреблении она может относиться и к мужчине, если говорить о семье в целом («дом Забажановых»).

Географически фамилия тяготеет к Белгородской, Воронежской областям, а также к востоку Украины — именно там глагол «забажать» до сих пор жив в речи. Встречается редко, и это не случайно: прозвище, образованное от бытового глагола, не перешло в массовые фамилии крестьян, а осталось локальным, возможно, закрепившись за одним родом. В дворянских родословных книгах фамилия не числится — это стопроцентно крестьянское или мещанское прозвище.

Сравните с однокоренными: Бажанов (от «бажаный» — желанный) встречается в сотни раз чаще и имеет другую эмоциональную окраску — ласковую, а не активную. Забажанов — это уже не «желанный», а «тот, кто возжелал», с оттенком внезапности или каприза. Если предок Забажановых действительно получил такое прозвище за свой характер, то он был человеком импульсивным и несдержанным в желаниях — качество, которое в крестьянской среде не поощряли, но запоминали надолго.