Фамилия Забиданский — одна из тех, где форма на -ский сразу указывает на её происхождение от географического названия, а не от имени или прозвища. Такие фамилии в русской традиции чаще всего получали дворяне, духовенство или выходцы из шляхты. В данном случае суффикс -ан- в основе — редкая деталь: он может указывать на украинское или белорусское происхождение, где такие окончания встречаются чаще, чем в великорусских землях.

Разберём основу. Вероятнее всего, фамилия образована от названия населённого пункта вроде Забиданы, Забидань или Забидово. В польском, украинском и белорусском языках «забида» или «забидний» — слово с корнем «бида» (беда, горе). «Забида» могло означать «забытый бедой», «обречённый на беду», либо прозвище невезучего человека. Однако для топонимической фамилии важнее, что село с таким именем могло стоять за «бидой» — за болотом, оврагом или гиблым местом, которое в народе называли «бида». В ономастике есть примеры, когда суффикс -ский присоединялся к названиям, оканчивающимся на -а, с добавлением -н- для благозвучия: так из «Забида» получается «Забиданский».

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла возникнуть от личного имени или прозвища Забида. В старых польских и украинских документах встречается прозвище Zabida — как вариант «забіда» (тот, кто «забиває біду», то есть прогоняет несчастье). Тогда носитель фамилии — потомок человека с таким прозвищем, а суффикс -ский добавился позже, по модели польской шляхты, стремившейся к «благородному» звучанию.

Географически фамилия редкая. В современных базах она встречается единично, преимущественно на западе Украины, в Волынской и Львовской областях, а также среди потомков эмигрантов в Польше. Это подтверждает версию о западнорусском или польском корне. В Российской империи носители Забиданских могли быть либо мелкими шляхтичами, либо однодворцами, либо духовными лицами — именно эти сословия активно использовали фамилии на -ский.

Обратите внимание на написание: «Забиданский», а не «Забеданский» — это важно. Форма с «и» во втором слоге говорит о том, что основа не связана с глаголом «забежать» или «забить», а именно с «бидой». Если бы фамилия была от «забеда» (капризный человек, от слова «беда» в значении «досада»), она писалась бы через «е». Так что перед нами именно топонимическая фамилия с оттенком народной географии: «тот, кто из места, что за бедой».