Фамилия Забицкий строится по самой распространённой в Польше и западных регионах бывшей Речи Посполитой модели: основа + суффикс -ский/-цкий. Этот суффикс указывал на принадлежность к месту или на происхождение от владельца поместья. Поэтому первое, что приходит на ум, — топонимическое происхождение: предок носителя фамилии был либо родом из населённого пункта с названием вроде Забице, Забич, либо владел таким имением. Подобных сёл в Польше, Беларуси и на западе Украины несколько, и все они восходят к корню «заб» — от польского «zabić» (забить, убить) или «zabić się» (забиться, ушибиться). Вряд ли название означало что-то кровавое: скорее всего, речь о глухом, заросшем месте, где трудно пройти, — «забитое» деревями урочище.

Менее очевидная, но тоже возможная версия — прозвищная. В польских говорах слово «zabicki» могло относиться к человеку, который «забивает», то есть заколачивает что-то — например, плотнику или бондарю. Однако такая конкретная профессиональная привязка встречается реже, чем указание на место жительства.

Для русского уха фамилия звучит как польская или западнорусская, и это подтверждается историей. Носители фамилии Забицкие традиционно встречаются среди шляхты (мелкопоместного дворянства) на территории современной Беларуси и Украины, особенно в Волынской и Гродненской губерниях. В Российской империи фамилия не была массовой: она оставалась маркером католического или униатского происхождения, а после разделов Польши многие Забицкие перешли на государственную службу, сохранив фамилию в документах.

В написании возможен вариант Забицкий через «ы» — Зябицкий, что связано с местным произношением (аканье или яканье). Но основной вариант твёрдый, с «а». Интересно, что в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые в России часто давали крестьянам, Забицкий — фамилия скорее «панская» или мещанская, что сужает круг возможных предков до людей, имевших отношение к администрации, военной службе или землевладению. Если ваш предок носил эту фамилию, ищите его корни не в центральной России, а в западных губерниях или в Польше.