Фамилия Забигай — яркий пример так называемой «говорящей» фамилии, образованной от глагольного прозвища. В её основе лежит древнерусский глагол «забигать» или «забигнуть» — то есть «забежать», «забегать», а в переносном смысле — «забежать вперёд», «опередить», «забегать сбоку» (например, в драке или в игре). Исходное прозвище Забигай могли дать человеку непоседливому, юркому, тому, кто везде поспевал первым или, наоборот, постоянно мешался, «забегал» не в свою очередь. Встречается и более бытовая версия: так могли прозвать забияку или драчуна, который «забегал» с кулаками.

Словообразовательная модель здесь нестандартна. Фамилия застыла в форме повелительного наклонения глагола (императива) — «забигай». Такие фамилии (сравните: Тяни, Хватай, Стучи, Непейвода) в русской ономастике редки и обычно имеют украинское или южнорусское происхождение. В украинском языке форма «забигай» звучит естественнее, чем в северорусских говорах, поэтому с высокой вероятностью фамилия Забигай имеет украинские корни. Суффикса, характерного для русских фамилий (-ов, -ин), здесь нет — фамилия сохранилась в «чистой», бессуффиксной форме, что указывает на её позднее закрепление или на то, что она возникла в среде, где такие прозвища не русифицировали.

Географически фамилия тяготеет к Украине и югу России. По данным современных переписей, Забигаи встречаются в Черкасской, Киевской, Полтавской областях, а также в Краснодарском крае и Ростовской области. В центральных и северных регионах России она редка. Это косвенно подтверждает связь с украинским языком: в нём глагол «забігати» означает «забегать» или «начать бегать», а прозвище могло относиться к расторопному слуге, подпаску или просто резвому ребёнку.

Спорных версий у фамилии немного. Иногда её связывают с тюркским корнем «заби» (твёрдый, крепкий) или с арабским «забих» (жертвоприношение), но это натяжки: фонетически и грамматически фамилия полностью вписывается в славянскую глагольную модель. Никаких документальных подтверждений тюркского влияния нет.

Таким образом, предок носителя фамилии Забигай — скорее всего, человек с заметным характером: быстрый, проворный, возможно, задиристый. Прозвище не давали за спокойный нрав, так что в роду явно были люди «с огоньком».