Фамилия Забигаев — одна из тех, чья форма сразу выдаёт способ образования: суффикс -ев указывает на принадлежность, отчество или прозвище по отцу. В основе лежит личное имя или прозвище Забигай. Такие имена на -ай (как Забигай, Ловигай, Хватай) были в ходу в русских говорах, особенно на севере и в центральных областях, и обычно имели ярко выраженный повелительный оттенок — это был своего рода «приказ» или пожелание, данное человеку при рождении или закрепившееся за ним в быту.

Глагол «забигать» в диалектах означал «забегать», «заторопиться» или «начать бегать» — то есть прозвище Забигай могли дать непоседливому, суетливому человеку, который всё время куда-то спешит. Но есть и другая версия: в некоторых областях «забигать» значило «забивать, заколачивать», и тогда прозвище могло относиться к плотнику или мастеровому, работающему с молотком. В любом случае, прозвище носило бытовой, описательный характер, без сословной привязки.

С точки зрения географии, фамилия Забигаев довольно редкая и встречается преимущественно в центральной России и Поволжье. Она не попала в широкие дворянские родословные книги, а значит, скорее всего, происходила из крестьянской или мещанской среды. Фамилии на -ев в этой модели образовывались от основ на мягкий согласный или на й: Забигай → Забигаев, то есть «сын Забигая».

Интересно, что однокоренные фамилии — Забигалов, Забигайлов — встречаются ещё реже, и их связь с Забигаевым не всегда очевидна: у них другой суффикс (-лов), что может указывать на иное окончание прозвища (Забигало вместо Забигай). В любом случае, Забигаев остаётся одной из тех фамилий, где исходное прозвище звучит живо и наглядно, без туманных этимологических загадок.