Фамилия Забегаев — один из тех случаев, где прозвище предка почти не оставляет сомнений в своей основе. В её центре — глагол «забегать», то есть «начинать бежать» или «забежать куда-то». Отсюда и прозвище Забегай, которое в прямом смысле давали человеку подвижному: быстро ходил, постоянно суетился, везде поспевал. Но, как часто бывает, у такого прозвища могла быть и профессиональная подоплёка: Забегаем называли гонца, посыльного или рассыльного — того, чья работа требовала постоянного движения и скорости.

Впрочем, не спешите записывать всех Забегаевых в потомственные бегуны. Есть и вторая, не менее правдоподобная версия: фамилия могла произойти от названия населённого пункта. Деревни и сёла с именем Забегаево встречаются в разных регионах России — например, в Октябрьском районе Костромской области и в Чусовском районе Пермского края. Если предок был выходцем из такого села, его могли записать как Забегаева — по месту жительства, а не по прозвищу.

Словообразовательная модель здесь классическая: основа «Забега(й)» плюс типичный русский суффикс принадлежности -ев. Такая фамилия могла закрепиться как за крестьянином, так и за посадским человеком — сословных ограничений у неё нет. Спор между «прозвищной» и «топонимической» версиями решается просто: обе имеют равное право на существование, и точный ответ зависит от того, в какой именно семье и местности искать корни.