Фамилия Забегаев — из числа тех, где прозвище и географическое название могли идти рука об руку, и до конца неясно, что было первичным. Самая прямая версия: её дали человеку с прозвищем Забегай. В основе — глагол «забегать». Тут два бытовых варианта: либо предок отличался быстрой, стремительной походкой, либо был человеком суетливым, вечно в хлопотах, «забегал» по делам. Но прозвище могло указывать и на занятие — гонец, посыльный, скороход, чья работа требовала постоянного движения.

Однако есть и другой поворот. Названия Забегаево встречаются в России не раз: село в Октябрьском районе Костромской области, ещё одно — в Чусовском районе Пермского края. Фамилия могла возникнуть не от прозвища, а от названия местности: крестьянин, переселившийся из Забегаева, получал прозвище Забегай, а его дети уже становились Забегаевыми. В таком случае основа фамилии — не характер человека, а его малая родина.

Фамилия построена по стандартной русской модели: прозвище на -ай (Забегай) плюс типичный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?»). Это одна из самых распространённых словообразовательных схем в русской ономастике, но интересна она именно раздвоением корня: слово «забегать» имеет и прямое, и переносное значения, что даёт простор для разных толкований.

Точное время появления фамилии не установлено — процесс закрепления фамилий в разных слоях населения шёл с XV по XIX век, и Забегаевы могли оформиться как в среде крестьянства, так и среди служилых людей. В любом случае, фамилия держится на живом, подвижном слове, и это её главная черта.