Фамилия Забегаева — типичный пример русской фамилии, образованной от прозвища. В её основе лежит глагол «забегать», и первое, что приходит на ум: предок был либо очень быстрым ходоком, либо суетливым и хлопотливым человеком, которого за глаза прозвали Забегай. Однако, если копнуть глубже, прозвище могло оказаться «профессиональным»: так могли называть гонца или посыльного, то есть того, кто постоянно «забегал» по делам.

Любопытно, что у фамилии есть и топонимическая версия. На карте России встречаются деревни с названием Забегаево — например, в Октябрьском районе Костромской области и в Чусовском районе Пермского края. Не исключено, что основатель рода был уроженцем одного из таких сёл, и фамилия закрепилась за ним по месту жительства. Эта версия особенно правдоподобна, если учесть, что фамилии на -ов/-ев часто давали переселенцам, указывая, откуда они пришли.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), то есть Забегаев — сын или потомок Забегая. Форма Забегаева — это женский вариант или форма родительного падежа, которая в современном русском языке закрепилась как неизменяемая фамилия для женщин. Таким образом, независимо от того, было ли прозвище связано с характером, профессией или географией, фамилия Забегаева органично вписывается в пласт русских родовых имён, образованных от глагольных основ.