Фамилия Забегалина, при всей её кажущейся прозрачности, оставляет пространство для двух основных версий происхождения, и обе имеют под собой реальную основу.

Самый очевидный путь — от прозвища Забегала. Глагол «забегать» в народной речи мог описывать два разных типа поведения: либо человек быстро ходил, «забегал» в прямом смысле, либо был суетливым, хлопотливым, вечно куда-то спешил. Кроме того, прозвище могло перейти в разряд профессиональных — так могли назвать гонца или посыльного, чья работа была связана с беготнёй. Обратите внимание на суффикс -а, характерный для прозвищ, образованных от глаголов (ср. Вертила, Ломила). Такие именования в XIV–XVII веках легко закреплялись за человеком и позже ложились в основу фамилии с типичным русским патронимическим суффиксом -ин.

Вторая версия — топонимическая. Фамилия могла возникнуть не от прозвища, а от названия места. На карте России действительно есть несколько деревень и сёл с названием Забегаево: например, в Октябрьском районе Костромской области и в Чусовском районе Пермского края. В этом случае предок носителя фамилии был либо уроженцем такого села, либо его жителем, и фамилия указывает не на черту характера, а на географическое происхождение — «из Забегаева». Словообразовательная цепочка здесь выглядит иначе: топоним Забегаево → прозвище Забегай → фамилия Забегалин.

Что примечательно: обе версии сходятся в корне «забег», но расходятся в суффиксах. Если прозвищная модель даёт форму на -ала, то топонимическая — на -ай. Встречаются оба варианта, и без точных генеалогических данных (например, записи в ревизских сказках или метриках) выбрать одну из них сложно. Вероятнее всего, разные ветви одного рода могли получить фамилию независимо друг от друга — в одном случае от прозвища, в другом от названия села.