Фамилия Забегай — редкий случай, когда прозвище или глагольная форма застыла в качестве родового имени без типичных фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский). Перед нами чистая основа повелительного наклонения: «забегай» — то есть «начинай бежать» или «беги сюда». Такие фамилии-команды (вроде Убей, Подопригора, Сорвиголова) в русской ономастике называют «императивными». Они возникали не из отчества, а из прозвища, которое человек получал за манеру речи, привычку торопить других или за быстроту передвижения.

Скорее всего, родоначальник Забегаевых (а фамилия могла писаться и через -ев, если бы успела обрасти суффиксом) был подвижным, непоседливым человеком, которого постоянно окликали: «Эй, Забегай!» — либо в прямом смысле (гонцу, скороходу, посыльному), либо в переносном (человеку, который вечно куда-то спешит или вмешивается в дела). В украинской и белорусской традиции такие формы встречаются чаще, чем в великорусской, и фамилия Забегай могла закрепиться именно в западных или южных регионах, где повелительное наклонение в прозвищах было обычным делом.

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла возникнуть от дохристианского имени-пожелания. На Руси давали имена-обереги вроде «Забегай» — чтобы ребёнок рос быстрым и ловким, или, наоборот, чтобы «забегал» от бед. Однако для этого нет надёжных письменных свидетельств: в актах XVI–XVII веков такая форма не фиксируется, тогда как императивные прозвища (Помогай, Непей, Терпи) встречаются.

В современных базах данных фамилия Забегай — большая редкость. По переписям XX века она встречается преимущественно в Курской, Белгородской областях и на востоке Украины. Носители этой фамилии, как правило, не знают о её глагольном происхождении, но само звучание выдаёт живой, разговорный корень — без канцелярских суффиксов, без облагораживания. Это не «чей-то сын», а прямое указание на действие: предок был тем, кого звали словом «забегай».