Фамилия Забиваловы — яркий пример того, как прозвище, данное по занятию, со временем превратилось в родовое имя. В основе лежит прозвище Забивало, которое напрямую связано с глаголом «забивать». В старину это слово имело широкий спектр значений: вбивать сваи, заколачивать гвозди, вгонять клинья. Соответственно, прозвище Забивало могли дать человеку, чья работа требовала постоянного применения силы и молотка — плотнику, строителю, кузнецу или даже тому, кто забивал скот на бойне. Такие «профессиональные» прозвища были очень распространены на Руси: они заменяли человеку фамилию, указывая на его ремесло или характерную черту.

Сама фамилия образовалась по стандартной для русского языка модели: к основе «Забивал-» добавился суффикс принадлежности «-ов». Суффикс этот указывает на то, что предок носителя фамилии — Забивало. То есть Забивалов — это буквально «сын Забивалы» или «из рода Забивалы». Обратите внимание на окончание «-ы» в вашем вопросе: форма «Забиваловы» — это множественное число, обозначающее весь род или семью. В единственном числе фамилия звучит как Забивалов (для мужчины) и Забивалова (для женщины).

Говорить о точной географической привязке фамилии сложно. Прозвища, образованные от глаголов с конкретным действием, возникали в разных местах независимо друг от друга. Однако можно предположить, что фамилия Забивалов чаще встречается в северных и центральных регионах России, где было развито деревянное зодчество и плотницкое дело. В южных областях, где строительство велось из самана и камня, такое прозвище могло быть менее употребительным.

В отличие от фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров), Забивалов — это «мирское» прозвище, которое закрепилось за родом в XVI–XVII веках, когда у крестьян и посадских людей ещё не было официальных фамилий. Оно не несёт в себе ни дворянского, ни духовного происхождения, а скорее указывает на простого трудового человека. Если ваши предки носили эту фамилию, то, скорее всего, они были ремесленниками или крестьянами, чья жизнь была тесно связана с физическим трудом.