Фамилия Забросаев — один из тех случаев, когда корень слова почти прозрачен, а суффикс неожиданно много говорит о происхождении. В основе лежит глагол «забросать» или «забросить». Прямое значение — «тот, кто забрасывает»: возможно, рыбак, закидывающий невод, или человек, который что-то метко кидает. Однако в диалектах у слова были и переносные смыслы: «забросать» могло означать «завалить работой», «замучить поручениями», а в некоторых говорах — «забыть, оставить без внимания». Прозвище Забросай могли дать либо расторопному работнику, либо, наоборот, рассеянному человеку, который всё «забрасывает» и не доводит до конца.

Ключевая особенность — суффикс -аев. В русских фамилиях стандартная модель от прозвищ на -ай даёт окончание -аев (ср. Болтай → Болтаев, Ломай → Ломаев). Но здесь основа заканчивается на -ос, и возникла форма Забросаев, а не, скажем, Забросайев. Это указывает на то, что прозвище звучало как Забросай, но при оформлении фамилии произошло стяжение — типичный процесс для восточнославянской ономастики. Встречаются и варианты написания через «о» (Забросаев) и реже через «а» (Забрасаев), но первый исторически верен, так как связан с приставкой за-.

Географически фамилия редкая. Основные очаги — центральные и южные области России, особенно Курская, Воронежская и Ростовская области. В дореволюционных переписях носители чаще всего числились крестьянами или однодворцами. Однодворцы — особое сословие, которое занимало промежуточное положение между крестьянами и мелкими помещиками, и у них часто встречались фамилии, образованные от прозвищ, а не от имени отца. Забросаевы могли быть потомками служилых людей по прибору (стрельцов, пушкарей), которые после реформ Петра I осели на южных рубежах.

Сравнение с однокоренными фамилиями подтверждает версию о прозвище. Есть Забродин (от «забродить»), Заболоцкий (от географического названия), но Забросаев стоит особняком: у него нет параллелей с церковными именами или названиями ремёсел вроде «забросчик». Это чисто прозвищная модель, что делает фамилию ценной для историков языка — она сохранила живую разговорную форму XVII–XVIII веков.