Фамилия Забросков — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, возникло не из-за ремесла или внешности, а из-за места в социальной иерархии. В её основе лежит глагол «забросить» или «забрасывать», но не в бытовом смысле. Судя по суффиксу -ов, фамилия образована от прозвища Заброска, Забросок (или Заброско в южных говорах). Такое прозвище на Руси давали человеку, который по тем или иным причинам оказался «заброшенным» — оторванным от семьи, общины, оставленным без наследства или сосланным в глухое место. В словарях русских говоров слово «заброска» фиксируется в значении «ссылка» или «отдалённое, глухое поселение», так что прозвище могло закрепиться за переселенцем или ссыльным.

Менее вероятная, но возможная версия — профессиональная. В некоторых регионах «заброской» называли рыбака, который забрасывал невод, или охотника, забрасывающего капканы. Однако в этом случае мы бы ожидали больше однокоренных фамилий в рыболовецких областях, а Забросков встречается редко и разрозненно.

География фамилии подтверждает первую версию. Основные кластеры Забросковых — не в центральных густонаселённых губерниях, а на Урале и в Сибири (Пермская, Тобольская губернии, позднее — Алтайский край). Это типичные регионы, куда ссылали и куда уходили «заброшенные» люди. Фамилия могла закрепиться за крестьянами, которых помещик «забросил» на дальние земли, или за ссыльными поселенцами, чьё прозвище стало родовым именем.

Словообразовательная модель проста: основа «заброск-» (от глагола «забросить») плюс суффикс принадлежности -ов. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Забро́сков. В дореволюционных записях встречается вариант «Забросковъ» — с твёрдым знаком на конце, что типично для мужских фамилий до орфографической реформы 1918 года. Среди однокоренных фамилий — Заброскин (с суффиксом -ин, от той же основы), но он ещё реже.

Таким образом, фамилия Забросков — не про «заброшенный дом» или «заброшенный мяч», а про судьбу человека, который оказался оторван от привычного мира. Это ономастический отпечаток русской колонизации и социальных перемещений XVII–XIX веков.