Фамилия Забросаева — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, сохранилось почти без изменений, а суффикс -ев указывает на его древнюю форму. В отличие от более частых фамилий на -ов, где основа оканчивается на твёрдый согласный, здесь мы видим мягкий вариант: прозвище Забросай дало Забросаев, а женская форма — Забросаева. Модель образования проста: от глагольного повелительного наклонения «забросай» (то есть «начни бросать» или «закидай чем-либо») плюс типичный русский патронимический суффикс.

Что могло означать такое прозвище? Скорее всего, оно описывало человека по действию, а не по внешности. В говорах «забросать» имело несколько значений: быстро и много накидать (сена, дров), закидать кого-то предметами (в шутку или всерьёз), а также — в переносном смысле — забросить дело, оставить начатое. Прозвище Забросай могли дать либо торопливому работнику, который всё делал наскоком, либо, наоборот, человеку, который любил «забросать» собеседника словами или шутками. Встречается и версия, что так называли того, кто часто терял вещи или бросал их где попало, но она менее убедительна: прозвища от глаголов в повелительном наклонении чаще фиксировали активное действие, а не пассивную небрежность.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям, где были распространены прозвища на -ай (типа Бросай, Лови, Хватай). В документах XVII–XVIII веков можно найти однокоренные фамилии — Забросаев, Заброскин, но сама Забросаева встречается редко, что говорит о её локальном бытовании, возможно, в одной или нескольких соседних деревнях. Сословно предки, скорее всего, относились к крестьянам или однодворцам — в дворянских родословных книгах эта фамилия не зафиксирована.

Интересная деталь: ударение в фамилии плавающее. В большинстве регионов говорят Заброса́ева (с ударением на «а»), но в некоторых говорах можно услышать Забро́саева — это реликт старого местного произношения, где ударение падало на корень. Оба варианта имеют право на существование, но первый считается литературной нормой. Если вы носите эту фамилию, то, скорее всего, ваши предки были людьми энергичными, скорыми на руку или на слово — именно такое качество и закрепилось за ними в виде прозвища.