Фамилия Заебикоза — редкий случай, когда прозвище превратилось в фамилию, почти не изменившись, и сохранило свою экспрессивную, грубоватую основу. В отличие от большинства русских фамилий, образованных от крестильных имён или названий профессий, эта явно происходит от уличного прозвища, данного человеку за характер, поведение или манеру речи. Разбирать её по суффиксам -ов или -ин бессмысленно: перед нами не патроним, а застывшая форма глагольного выражения.

Корень здесь — глагол «заебать» (в устаревшем, просторечном значении «замучить, изнурить, надоесть до предела») и слово «коза». Скорее всего, прозвище «Заебикоза» получил человек, который постоянно придирался, донимал окружающих пустыми придирками или нудными требованиями, то есть «заебывал, как коза» — с намёком на навязчивое блеяние и упрямство животного. Вторая версия — ироничное прозвище пастуха или хозяина, чья коза (или козёл) отличалась особо буйным нравом и создавала всем проблемы. Третья, менее вероятная, — прозвище человека, который сам «бодался» и лез в драку, как козёл.

В академических словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) эта фамилия не фиксируется — она слишком редкая и относится к разряду «неканонических», то есть не вошедших в реестры дворянских или купеческих родов. Носители Заебикозы встречаются в основном в южнорусских и украинских регионах, где диалектная лексика богата на экспрессивные прозвища. В XIX веке такую фамилию могли дать не при переписи, а закрепить за целым родом в одной деревне, и она передавалась по наследству, потеряв со временем первоначальную оскорбительность.

Словообразовательная модель проста: сращение глагольной основы с именем существительным. Это так называемые «прозвищные фамилии», которые в русском языке встречаются редко из-за своей громоздкости и неудобства для склонения. Сравните с более известными, но тоже редкими аналогами: Убейворота, Убейсобака, Дерикоза. Заебикоза стоит в том же ряду — это не фамилия-география и не фамилия-профессия, а живое, меткое прозвище, которое закрепилось за предком, видимо, не самым покладистым человеком.