Фамилия Заебище — настолько редкая, что её происхождение приходится реконструировать по общим законам русской ономастики, а не по частотным данным. Судя по суффиксу, это типично прозвищная фамилия, образованная напрямую от прозвища Заебище.

В основе лежит глагол «заебать» (в старом, необсценном значении — «замучить, утомить, изнурить» или «забить до смерти»). Суффикс -ищ- в русских прозвищах часто имел увеличительное, а иногда и уничижительное значение. Таким образом, Заебище — это не «тот, кто заебает», а скорее «тот, кто сильно заебан»: измученный человек, забитый жизнью, либо, напротив, «заебатель» в значении «задира, мучитель». Вторая версия выглядит правдоподобнее: прозвища с суффиксом -ище часто давали за яркое, гиперболизированное качество — «великан», «силач», «гроза» (ср. фамилии Грозище, Боище).

Обращает на себя внимание и форма фамилии на -е, а не на -ов/-ин. Фамилии, застывшие в форме именительного падежа единственного числа (Заебище, Сорока, Шуба), характерны для украинской и южнорусской традиции. В северных и центральных областях России такое прозвище скорее переделали бы в Заебищев или Заебищин. Значит, географические корни фамилии, скорее всего, — юг России, Украина или Белоруссия.

В дореволюционных переписях фамилия не зафиксирована — это говорит о её локальном бытовании, возможно, в одной или нескольких деревнях. Носители могли быть крестьянами или казаками, которым дали прозвище за неуживчивый или, наоборот, чрезвычайно выносливый характер. В советское время фамилия могла смениться из-за неблагозвучия, поэтому её современные носители — скорее всего, потомки тех, кто не стал менять документы.