Фамилия Заеке — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение почти наверняка не связано с русским зайцем, хотя на слух это напрашивается. Главная подсказка — суффикс и окончание. В русских фамилиях типичные окончания: -ов, -ев, -ин, -ский, -их. Окончание -е — нетипично для исконно русской фамилии в именительном падеже. Оно указывает на иноязычное происхождение, скорее всего, немецкое или еврейское (ашкеназское).

В немецком языке фамилия Zäke или Zake могла возникнуть от прозвища, связанного с диалектным словом Zacke — «зубец», «остриё», либо от глагола zacken — «делать зазубрины». Так могли прозвать человека с неровными, острыми зубами, либо того, кто работал с зубчатыми инструментами (пильщик, плотник, кузнец). Другой вариант: от сокращённой формы имени Захария (Zacharias) — в немецкой традиции уменьшительные имена часто давали фамилии без дополнительных суффиксов.

В еврейской среде фамилия могла быть искусственной, образованной от аббревиатуры или просто благозвучного сочетания, которое напоминало слово, но не имело прямого значения. Однако более надёжная версия — немецкая, поскольку фамилии на -е в Российской империи часто фиксировали у немецких колонистов, переселявшихся в Поволжье и Причерноморье в XVIII–XIX веках.

В России фамилия Заеке встречается крайне редко, в основном в городах, куда в советское время переселяли немцев из Поволжья после депортации 1941 года. Встречаются единичные носители в Омской, Новосибирской областях и в Калининградской области — бывшей Восточной Пруссии, где немецкие фамилии были исторической нормой.

Если ваши предки носили фамилию Заеке, скорее всего, они были немецкими колонистами, переселившимися в Россию по приглашению Екатерины II, и их прозвище было связано либо с ремеслом, либо с внешней особенностью.