Фамилия Заёкина — женская форма фамилии Заёкин, которая образована по самой распространённой в русской ономастике модели: от прозвища или имени через суффикс -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: «чей?» — Заёкин, то есть сын или потомок Заёки (Заёка). Основа фамилии — прозвище Заёка, которое, скорее всего, связано с глаголом «заекать» или «заикаться». В русских говорах «заёка» — человек с дефектом речи, заика. Прозвища по физическим особенностям давали часто и без злого умысла — просто для узнавания человека в деревне. Так что предок носительницы фамилии мог быть заикой, и это закрепилось в родовом имени.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «заёка» в значении «задира», «забияка» (от «заедать» — приставать, донимать). В некоторых областях так могли назвать настырного или сварливого человека. Однако первое объяснение, с заиканием, встречается в ономастических источниках чаще — например, в словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные прозвища (Заика, Заикин) разбираются как типичные для характеристики речи.

Фамилия Заёкин (и её женская форма) — редкая. Она не входит в списки массовых русских фамилий, не имеет яркой региональной привязки, как, скажем, донские или сибирские фамилии. Встречается разрозненно, что говорит о её происхождении от конкретного прозвища, а не от имени в святцах. По сословной принадлежности — скорее всего, крестьянская или мещанская: прозвищные фамилии с таким корнем редко встречались у дворянства, которое чаще брало фамилии от географических названий или церковных имён.

Орфографический нюанс: буква Ё в фамилии принципиальна. Без неё написание «Заекина» теряет различие с возможной фамилией от имени Захар (через уменьшительное Заека) или с диалектным «заека» (заика). В паспортах и документах Ё часто заменяют на Е, что создаёт путаницу: фамилия может звучать иначе, чем задумана. Если вы ищете свои корни, стоит проверять оба варианта написания в архивах и метрических книгах.