Фамилия Загаврина принадлежит к типично русскому типу фамилий на -ин, который в большинстве случаев указывает на родство по мужской линии: «чей сын?» — Загаврин, то есть потомок человека по прозвищу Загавра. В основе фамилии лежит неканоническое прозвище Загавра, а оно, скорее всего, образовано от глагола «загаврить» — говорящего, что человек «заговорил», «затараторил», начал говорить быстро, сбивчиво или много. В русских говорах слово «гаврить» означало «болтать, пустословить», а приставка за- усиливает значение начала действия. Таким образом, Загавра — это говорун, балагур, человек, который любит и умеет много говорить.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «гавра» — так в некоторых областях называли ворону или галку, то есть крикливую, шумную птицу. В этом случае прозвище могло перейти на человека за сходство в поведении: крикливый, беспокойный. Однако первый вариант — от «гаврить» в значении «болтать» — более органичен, так как приставка за- в прозвищах часто фиксирует именно начало действия или яркую черту.

По модели образования фамилия Загаврина — женская форма от мужской Загаврин. Мужская фамилия, в свою очередь, образована через суффикс принадлежности -ин от прозвища Загавра. Такие фамилии были распространены в северных и центральных губерниях России, особенно среди крестьянства и мещанства, где прозвища фиксировали внешние признаки, манеру поведения или ремесло человека. Сословная принадлежность носителей фамилии, скорее всего, была невысокой: в дворянской среде фамилии на -ин от прозвищ с такой «бытовой» семантикой встречаются крайне редко.

В ономастических трудах фамилия Загаврина не относится к числу широко исследованных, но её однокоренные аналоги — Гаврилов, Гавриков — хорошо известны. Отличие Загавриной в том, что основа не от имени Гавриил, а от самостоятельного прозвища, что делает её более редкой и «живой» в смысле прямой связи с народной речью. Если ваши предки носили эту фамилию, можно предположить, что родоначальник был заметным говорливым человеком — или, напротив, получил прозвище с оттенком иронии за молчаливость, что тоже случалось в русской прозвищной традиции.