Фамилия Заговенков — из числа тех, что сразу намекают на бытовой или календарный обычай. Её основа — слово «заговенье»: так в православной традиции называют последний день перед постом, когда ещё можно есть скоромную пищу. Человек мог получить прозвище Заговенок — например, если родился или был крещён как раз накануне поста, в заговенье. Связь с народным календарём для русских фамилий обычна, но здесь интересен суффикс: не «Заговеньев» (от церковного термина), а именно «Заговенков», с уменьшительно-ласкательным -ок. Это указывает на прозвищное, бытовое происхождение, а не на книжное.

Модель образования проста: прозвище Заговенок → притяжательное прилагательное «Заговенков» (чей сын? — Заговенков). Суффикс -ов типичен для фамилий, возникших из прозвищ на согласный. Встречаются и однокоренные варианты: Заговеньев, Заговенкин, но Заговенков — самый компактный и, судя по данным переписей, редкий. Встречается он преимущественно в центральных и южных областях России, где сильна традиция привязки имён к церковному календарю.

Есть и другая, менее вероятная версия: от диалектного глагола «заговеть» — начать поститься или, наоборот, закончить говеть. Но прозвища от глаголов в форме прошедшего времени (типа Непейвода, Заговей) обычно строятся иначе, без суффикса -ок. Поэтому первая версия — от дня заговенья — надёжнее.

Сословной привязки у фамилии нет: Заговенковы могли быть и крестьянами, и мещанами, и священнослужителями (последним такое прозвище давали бы в быту, а не в документах). Важно, что фамилия не искусственная, семинарская — те часто образовывались от латинских или греческих корней, а здесь чистый народный календарь.