Фамилия Захаваев — редкий случай, когда сразу понятно, из какого глагола она вышла, но неясно, что стояло за этим глаголом. Основа «захава-» происходит от слова «захавать» — в некоторых говорах это означало «заесть, перекусить», а в более грубом смысле — «проглотить, присвоить». Фамилия образована по стандартной модели с суффиксом -ев, который крепится к основе на -а: Захавай → Захаваев. То есть первым носителем был человек, которого прозвали Захавай.

Вот тут и начинается главный вопрос: за что? Прозвище могло быть ироничным — так могли назвать обжору или человека, который любил перехватить чужое. Но есть и другая версия, менее очевидная. В некоторых русских диалектах «захавать» означало не только «съесть», но и «забрать, захватить» — например, о воде, которая заливает берег. В этом случае прозвище могло относиться к человеку хваткому, цепкому, который «захавывает» своё.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает расставить акценты. Есть фамилия Захаров — от имени Захар, и она массовая. Захаваев — штучная, и её основа не каноническое имя, а именно прозвище. Встречается она преимущественно в южных и центральных областях России, где диалектная лексика с «хавать» была особенно живуча.

Ономастика не даёт однозначного ответа, какая из версий вернее. Но если смотреть на модель словообразования, то прозвище Захавай — типично бытовое, из разряда тех, что давали по поведению или привычке. Ваш предок, скорее всего, не был знатным человеком, а носил прозвище, которое закрепилось за его потомками.