Фамилия Закутские (в исходной форме — Закутский) принадлежит к распространённому типу русских фамилий, образованных от прозвища, данного по месту жительства. В основе лежит слово «кут» — древнее славянское понятие, означающее «угол», «закоулок», а также «вершина или конец залива, заводи, мыса». Прозвище Закутский, скорее всего, указывало на того, кто жил за таким заливом или заводью — то есть в некотором отдалении от основного поселения, на краю деревни, в уединённом «закоулке».

Модель образования фамилии типична: к основе «закут-» добавили суффикс притяжательного прилагательного -ск-, который в русской ономастике чаще указывает на географическую или территориальную принадлежность, чем на прямое родство. Такой суффикс характерен для фамилий, возникших в среде служилых людей, духовенства или выходцев из западных русских земель. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые обычно образовывались от имени отца, суффикс -ский подчёркивает связь с местностью: Закутский — «тот, кто с Закута» или «живущий за кутом».

Слово «кут» в разных говорах имело и другие оттенки: в южнорусских диалектах так называли угол в избе, где стояла печь, а в северных — заливной луг или мыс. Однако прозвище Закутский вряд ли связано с внутренним устройством дома — скорее, с ландшафтом или расположением усадьбы на отшибе. В пользу этого говорит и приставка «за-»: она указывает на положение позади или по ту сторону чего-то.

Фамилия Закутский встречается в исторических документах, но не относится к числу массовых. Географически она тяготеет к югу России и Украине, где слово «кут» в значении «угол» или «закоулок» было особенно употребительно. Встречаются также варианты Закутский и Закуцкий — последний мог возникнуть из-за упрощения трудного для произношения сочетания «-тск-».

Точное время возникновения фамилии установить сложно: процесс закрепления прозвищ в качестве наследственных имён шёл несколько столетий, с XV по XVIII век. Однако ясно, что прозвище Закутский — не случайное: оно точно описывало положение человека в пространстве, будь то глухой переулок в городе или отдалённый мыс на реке.