Фамилия Закутский — прозвищная, образованная по модели, типичной для юго-западных и западных регионов России. Суффикс -ск- указывает не на принадлежность одному человеку (как -ов или -ин), а на связь с местом: Закутский — тот, кто «с Закутья», из местности, которую так называли. Основа здесь — предлог за и слово кут.

В народной географии «кут» — это не просто угол в избе (красный или бабий кут), а в первую очередь — глухой, удалённый уголок местности. В говорах так называли конец залива, мыс, заводь, а также отдалённый переулок или тупик. Прозвище Закутский, таким образом, давали человеку, который жил за таким мысом, за заводью, либо на самом краю села, в глухом закоулке. Вторая версия, более бытовая: «закутком» на юге России и Украине часто называли хлев или отгороженное место для скота. Тогда Закутский — это тот, кто жил рядом с таким хозяйственным строением или смотрел за ним.

Встречается ли фамилия в исторических документах? Фамилии на -ский в массе своей оформились позже крестьянских — в среде духовенства и шляхты. Однако Закутский — скорее исключение: прозвищная основа и привязка к урочищу выдают не семинарское, а народное происхождение. Скорее всего, предок получил это прозвище от соседей за особенность места жительства, а при переписях или переходе на постоянные фамилии за ним закрепилась форма «Закутский» — по принципу «откуда родом».

Однокоренные фамилии — Закутин, Закутов, Кутепов, Закутный — различаются суффиксами, но все отсылают к тому же корню кут со значением угла или уединённого места.