Фамилия Закутенко звучит как типичная украинская, и это действительно так: её выдают суффикс -енко (патронимический, «сын кого-то») и основа, которая не встречается в русских фамилиях в таком виде. В украинской ономастике -енко — самый распространённый формант, указывающий на происхождение от прозвища или занятия отца. В данном случае основа — «закута» или «закуток».

Самая прямая версия: предка прозвали Закутой — человеком, который живёт «за кутом», то есть за углом, на отшибе, в глухом переулке. В украинских сёлах «кут» — это не только угол дома, но и отдельная часть села, дальняя улица. Соответственно, «закута» — тот, кто поселился на окраине, в захолустье. Фамилия могла закрепиться за одним из первых жителей такого отдалённого «кутка», а его дети уже стали Закутенками.

Есть и вторая, бытовая версия, связанная с глаголом «закутати» — укутать, завернуть. В этом случае прозвище Закута мог получить человек, который постоянно кутался в одежду, зябнул, или, наоборот, тот, кто укутывал других — например, пастух, заворачивающий овец в полость. Но географическая привязка к «куту» убедительнее: фамилия встречается в основном в центральных и восточных областях Украины (Полтавщина, Черкащина, Слобожанщина), где слово «кут» в значении «угол, тупик, закоулок» было в ходу.

В отличие от русских фамилий на -ов/-ин, Закутенко не несёт сословной окраски: такую фамилию мог получить и крестьянин, и казак. В реестрах Запорожского войска попадаются похожие прозвища (Закутный, Закутний), что подтверждает казацкое происхождение части носителей. Если ваш предок был Закутенко, скорее всего, он происходил из сельской местности, где его семья жила на отшибе — в «закутку» села.