Фамилия Закутько образована по украинской модели: суффикс -к-о указывает на потомка, то есть буквально «сын Закутого». Основа здесь — прозвище Закутый, а оно, в свою очередь, связано со словом «кут».

В украинских и южнорусских говорах «кут» — это не просто угол, а целый ряд значений: закоулок, тупик, вершина залива, заводи или мыса. Отсюда два основных варианта происхождения прозвища. Первый — географический: предок жил за каким-то природным изгибом, за заводью или мысом. Второй — бытовой: «закутым» называли человека, который поселился на отшибе, в дальнем закоулке, на самом краю деревни. В любом случае, прозвище привязано к месту жительства.

Интересно, что в русских фамилиях та же основа дала формы Закутин и Закутов. Суффикс -к-о в фамилиях вроде Закутько, Шевченко или Коваленко — типично украинский, он закрепился в документах в XVI–XVII веках, когда прозвища окончательно вытеснили крестильные имена в официальном обиходе. Так что Закутько — не просто «тот, кто за кутом», а именно «потомок того, кто за кутом».