Фамилия Закутай звучит как приказ или насмешливое прозвище — и это не случайно. В её основе лежит глагол «закутать» (укрыть, завернуть). Но фамилию дали не человеку, который любил тепло одеваться, а скорее тому, кто получил прозвище за манеру поведения или внешность: медлительный, закутанный в думы, либо, напротив, скрытный, «закутанный» от чужих глаз. В русских говорах слово «закута» означало также хлев или тёплое помещение для скота, так что прозвище могло достаться и крестьянину, жившему при скотном дворе.

Словообразовательная модель проста и прозрачна: основа — повелительная форма глагола «закутай», суффикс отсутствует, окончание нулевое. Такие фамилии-прозвища (Крути, Хватай, Непей) в северных и центральных регионах России закреплялись за людьми как уличные клички, а затем, при переписях, переходили в официальные фамилии. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые образовывались от имён или профессий, «Закутай» — это чисто прозвищный тип, характерный для бытовой, неформальной среды.

География фамилии узкая. По данным современных телефонных справочников и архивных записей, Закутаи встречаются в основном в Вологодской, Архангельской и Кировской областях — на территории бывшего Русского Севера. Там глагол «закутать» и однокоренные слова бытовали в живом диалекте, а фамилии на -ай (Бросай, Стреляй, Лови) — не редкость. Это косвенно подтверждает, что предки носителей фамилии были крестьянами или ремесленниками, а не дворянами: прозвищные фамилии редко встречались у высших сословий.

Интересная деталь: в некоторых переписях XIX века встречается вариант «Закутаев», но он мог возникнуть из-за того, что писарь «дотянул» фамилию до привычного патронимического образца. Изначальная форма без суффикса — более архаичная и редкая. Если ваша фамилия именно Закутай, а не Закутаев, вы носитель более старой, «нестандартной» модели, которая сохранилась в документах почти случайно.