Фамилия Закутаев образована от прозвища Закутай. В его основе лежит древнерусское слово «кут», которое в разных говорах означало «угол», «закоулок», «тупик», а также «вершина или конец залива, заводи, мыса». Чаще всего такую фамилию получал человек, живший «за кутом» — то есть за каким-то заметным природным ориентиром: за изгибом реки, за заводью или за мысом. В этом случае прозвище носило географический, топографический оттенок.

Однако есть и вторая, не менее вероятная версия. В тех же говорах «кут» мог означать отдалённое, глухое место. Соответственно, Закутаем называли того, кто поселился на отшибе, в «закоулке» — на краю деревни, в уединённом углу. Такое прозвище давали не столько по точному адресу, сколько по образу жизни: человек держался особняком, жил в стороне от соседей.

Модель образования фамилии типична для русской ономастики: прозвище на -ай (Закутай) плюс патронимический суффикс -ев. Форма Закутаев значит «сын Закутая». Сравните с однокоренными фамилиями: Закутин, Кутаев, Кутепов — все они восходят к тому же корню «кут», но с разными суффиксами и оттенками значения.

Встречается фамилия преимущественно в южнорусских и поволжских регионах, где слово «кут» и его производные были особенно употребительны в диалектной речи. В официальных документах фамилия фиксируется с XIX века, хотя само прозвище, скорее всего, возникло намного раньше — в эпоху, когда географические ориентиры и особенности жилья играли ключевую роль в идентификации человека.