Фамилия Закутаева происходит от прозвища Закутай. В его основе лежит древнерусское слово «кут» — не просто «угол», а целое гнездо значений: закоулок, тупик, а также вершина или конец залива, заводи, мыса. Скорее всего, прозвище дали человеку по месту жительства. Первый Закутай мог жить за каким-нибудь заметным мысом или заводью — то есть за кутом. Такая модель образования прозвищ (приставка «за-» + географический термин) типична для русских говоров: она указывала, что дом стоит позади названного ориентира.

Менее распространённая, но тоже возможная версия — бытовая. В народе «закутком» или «закутой» называли отгороженное место в хлеву для скота, а также тесный, неудобный закуток в доме. В этом случае прозвище могло закрепиться за нелюдимым человеком или за тем, кто жил на отшибе, в «закоулке» — отдалённой части деревни. Суффикс -аев в фамилии — типичный русский патронимический формант, указывающий на принадлежность: «чей?» — Закутаев, то есть сын или потомок Закутая.

Интересно, что фамилия встречается в основном в южных регионах России, в частности в Ростовской и Волгоградской областях, где слово «кут» в значении «заливной луг» или «мыс» было широко распространено в донских говорах. Это косвенно подтверждает первую, «географическую» версию происхождения.