Фамилия Занцев — редкий случай, когда прозвищная основа спорит с крестильным именем. Самое простое объяснение: перед нами вариант фамилии Занцов, где под ударением оказался не корень, а окончание. В таком случае в основе лежит прозвище Занец — так в тверских и псковских говорах называли зайца. Чередование ц/ч здесь закономерно: «заяц» через уменьшительную форму «зайка» давало «зайчик», а в диалектах — «занец» с утратой йота. Фамилия закрепилась с суффиксом -ев, который присоединяли к основам на мягкий согласный или ц: Занц-ев → Занцев. Прозвище Занец мог получить шустрый, пугливый или, наоборот, плодовитый человек — в народной культуре заяц символизировал и трусость, и плодородие.

Вторая версия отсылает к каноническому имени Зиновий. В русских говорах его нередко сокращали до Заня, а от Заня образовывали патроним Занцев — «сын Зани». Такая модель встречается у фамилий Заньков, Занин, Занюков. Выбрать между прозвищем и именем сложно: обе версии лингвистически состоятельны, но прозвищная кажется более вероятной, потому что фамилии от названий животных в русской ономастике встречаются в разы чаще, чем от редких форм имени Зиновий.

Географически фамилия Занцев тяготеет к центральным и северо-западным областям России. В переписях XVII–XVIII веков, насколько можно судить по доступным источникам, носители встречались в Новгородской и Тверской губерниях — как раз там, где диалектное «занец» было в ходу. Сословный состав пёстрый: среди Занцевых были и крестьяне, и мещане, но ни одного дворянского рода с этой фамилией не зафиксировано.

Интересная деталь: у фамилии есть двойник с буквой «ч» — Занчев. В некоторых говорах «зайца» называли «занчом», и тогда Занцев и Занчев — фонетические варианты одного прозвища, разошедшиеся по разным семьям. Встречаются обе формы, и их не стоит путать с украинскими фамилиями на -енко или польскими на -ский — перед нами чисто русская словообразовательная модель с суффиксом -ев.