Фамилия Затримайлова — редкая и бросающаяся в глаза. Она явно происходит от прозвища, причем прозвища глагольного, образованного по той же модели, что и фамилии Задержин, Задеряка или даже шуточные Зашибаев, Угонилов. Основа здесь — повелительное наклонение «затримай» (в старом написании «затрымай»), что в южнорусских и украинских говорах означает «задержи», «придержи», «останови». Суффикс -лов- — типичный для фамилий, созданных от глагольных команд: ср. Зашибалов, Завьялов (от «завьялить»). Получается, что Затримайлов — это буквально «сын того, кому говорили: затримай».

Прозвище Затримай могло закрепиться за человеком медлительным, нерасторопным, которого вечно окликали: «Да затримай же ты коня!» или «Затримай, не спеши». Но есть и другая, более житейская версия: так могли прозвать того, кто работал с задержками, задерживал плату или товар, то есть некоего «задержателя». В крестьянской среде подобные прозвища часто давались по характерному поведению или привычке, а не по ремеслу.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Украине. Глагол «затримати» (задержать) — украинизм, в русских говорах чаще звучало «задержи». Форма на -ать- (-тримать) указывает на западнорусское или малороссийское влияние. Встречаемость фамилии крайне низкая: в современных базах данных она единична, что говорит о локальном происхождении — возможно, от одного прозвища в одном селе.

Сословного барьера у фамилии нет: в XIX веке носители Затримайловых могли быть как крестьянами, так и мещанами. Женская форма Затримайлова — естественное окончание по принадлежности к роду. Если ваш предок носил эту фамилию, то, скорее всего, он был выходцем из южнорусских или украинских губерний, а его прозвище закрепилось за семьей из-за какой-то бытовой черты — то ли медлительности, то ли привычки «задерживать» что-то или кого-то.