Фамилия Затварський звучит по-польски или по-украински, но на деле она может быть и русской, просто записанной в польской орфографической традиции. В основе лежит слово «затвор» — запор, засов, а также уединённое место, келья. Суффикс -ськ- (в русской передаче -ск-) указывает на принадлежность к месту или на прозвище по характерному признаку: Затварський — это либо «тот, кто родом из Затворок» (села или урочища с таким названием), либо «человек, который живёт затворником».

Если копать глубже, то в польском языке «zatwór» означало не только замок, но и западню, ловушку. Поэтому прозвище Затвар мог получить либо сторож, запирающий ворота, либо нелюдимый человек, либо даже хитрец, устраивающий ловушки. Фамилия образована по той же модели, что и популярные Затворницкий, Затворский, но с характерным «а» в корне, что выдает южнорусское или украинское произношение (аканье в польском не свойственно, но в украинском «о» часто переходит в «а»).

В Российской империи фамилии на -ский считались дворянскими или духовными, но Затварський могла быть и «географической» — её давали крестьянам, переселенным из деревни Затвора или Затворки. Точных исторических записей о знатных носителях этой фамилии нет, что говорит о её простонародном происхождении: скорее всего, предок был либо сторожем, либо монахом-отшельником, либо жил на околице, за воротами.

Стоит отметить, что написание через «а» в первом слоге — редкое. Чаще встречается вариант Затворский, где корень сохраняет этимологическое «о». Если ваша фамилия именно Затварський, это может указывать на то, что предки жили на территории современной Западной Украины или в южных губерниях, где аканье было нормой, но писали фамилию по польским правилам.