Фамилия Затварская звучит как типичная «географическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта. Скорее всего, её основа — топоним Затварье или Затварь. Такие названия обычно возникали у реки Тварь или в местности, называемой Тварь. Само слово «тварь» в древнерусском языке означало не только «живое существо», но и «творение», «создание», а в некоторых говорах — «грязь», «топь» или «болотистое место». Поэтому Затварье — это селение «за тварью», то есть за болотом или за рекой Тварью.

Суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту: Затварский — тот, кто родом из Затварья. Женская форма Затварская закрепилась за дочерью или женой Затварского, а позже стала фамилией. Такая модель типична для шляхетских и дворянских фамилий в Польше, на Украине и в Беларуси, а также для русских фамилий, возникших в духовном сословии (семинаристы часто получали фамилии по названиям сёл).

В польском языке существует слово zatwara — «заслонка», «затвор». В этом случае Затварская могла быть прозвищной фамилией для человека, который делал задвижки или жил за воротами. Но географическая версия надёжнее: фамилия встречается в основном в западных регионах бывшей Российской империи — на Волыни, в Подолье, в Гродненской губернии.

Фамилия редкая. В дореволюционных источниках её носительницы — мещанки или крестьянки, без связи с известными дворянскими родами. В современной России Затварская тоже нечастотна, что подтверждает её локальное происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни в небольших сёлах на западе Украины или в Беларуси — именно там могло стоять то самое Затварье.