Фамилия Затяев образована от прозвища Затяй. В основе этого прозвища, скорее всего, лежит глагол «затягивать» в одном из его бытовых значений. Слово «затяй» в русских говорах могло означать человека медлительного, нерасторопного, того, кто «затягивает» дело. В. И. Даль в своём словаре фиксирует глагол «затя́ить» в значении «затаить, скрыть, утаить», но эта версия менее вероятна для прозвища, ставшего фамилией.

Суффикс -ев указывает на принадлежность: Затяев буквально означает «сын Затяя» или «из семьи Затяя». Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ или мирских имён, оканчивающихся на -ай, -яй (ср. Лентяев, Гуляев, Молчаев). Фамилия закрепилась в форме притяжательного прилагательного.

География фамилии довольно широка, но с заметной концентрацией в центральных и южных регионах России. Встречается в Саратовской, Волгоградской, Ростовской областях, а также в Сибири, куда её могли принести переселенцы в XIX—XX веках. В документах XVI—XVII веков фамилия не прослеживается — скорее всего, она оформилась позже, в среде крестьян и мещан, когда прозвища начали передаваться по наследству как родовые имена.

Интересная деталь: в некоторых документах XIX века встречается вариант написания «Зотяев» — с буквой «о» в первом слоге. Это связано с акающим произношением, когда безударная «а» звучала как «о», и писарь фиксировал её на слух. Такие колебания в написании — обычное дело для фамилий, возникших в устной среде до всеобщей грамотности.

Родственных фамилий с тем же корнем, но другими суффиксами, почти нет. Это говорит о том, что прозвище Затяй было локальным и не слишком распространённым. Сама фамилия Затяев — редкая, её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких небольших родов, разошедшихся по стране в ходе аграрных переселений.