Фамилия Затяева образована по самой распространённой в русской ономастике модели — с помощью суффикса -ев, который присоединяли к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или «й». В основе лежит прозвище или мирское имя Затяй. Что оно означало — вопрос, вокруг которого и строится главная интрига фамилии.

Скорее всего, Затяй — это человек, который «затягивает» дела, медлительный, нерасторопный. В русских говорах глагол «затягивать» имел и переносное значение «мешкать, волынить». Так могли прозвать кого-то в крестьянской или ремесленной среде за неторопливость — и прозвище закрепилось как фамильное. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «затяй» — задира, забияка (от «затевать ссору»). В этом случае прозвище давали человеку с неуживчивым характером.

Версия с отчеством от канонического имени маловероятна: в святцах нет имени, которое дало бы форму Затяй. Значит, перед нами чисто прозвищная фамилия, что типично для русского крестьянства, где фамилии в массовом порядке закрепились только после отмены крепостного права в 1861 году.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным регионам России. Встречается в старых переписях Вологодской, Костромской и Кировской областей — именно там, где диалектная лексика сохраняла слово «затяй» в значении «медлительный». Интересно, что фамилия не получила широкого распространения: она осталась редкой, что косвенно подтверждает её локальное, а не общерусское происхождение.

Сравните с однокоренными: Затягин, Затяжнов — они образованы от тех же корней, но с другими суффиксами. Затяева стоит особняком: суффикс -ев указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на мягкий согласный (Затяй → Затяев), что добавляет фамилии архаичный, почти былинный оттенок.