Фамилия Затяжных — один из образцов северорусской модели фамилий на -их/-ых. Такая форма указывала на принадлежность к роду или дому: Затяжных буквально значит «из семьи Затяжного». В старину в Новгородской, Вятской, Архангельской и Пермской губерниях человека могли спросить: «Ты чей?» — и ответ звучал как родительный падеж множественного числа: «Затяжных», то есть из тех, чей предок носил прозвище Затяжной.

Само прозвище Затяжной восходит к глаголу «затягивать». В русских говорах у этого слова было несколько значений, и фамилия могла возникнуть в разных бытовых контекстах. Самое прямое — ремесленное: затяжным называли мастера, который стягивал, затягивал ремни или обручи, например бондаря при сборке бочек или шорника, работавшего с упряжью. В кожевенном деле «затянуть» значило натянуть кожу на колодку, так что Затяжной мог быть сапожником или скорняком.

Другая версия связана с характером или поведением. В диалектах «затяжной» — медлительный, вялый человек, который тянет с ответом или делом. Такое прозвище могли дать неспешному, основательному крестьянину, но не исключён и ироничный оттенок — «затянул песню» или «затянул с решением». Третья, менее вероятная гипотеза отсылает к географическому названию: в некоторых областях «затяжью» называли глухое, затянутое лесом место, и человек, живший в такой глуши, получал прозвище по месту жительства.

Суффикс -ых в этой фамилии — не просто окончание, а маркер древнейшей русской модели, почти исчезнувшей в центральных областях, но сохранившейся на Севере и в Сибири. Если ваши предки носили фамилию Затяжных, с большой вероятностью они происходят из среды свободных государственных крестьян Русского Севера, где эта модель была нормой, а не из помещичьих или служилых сословий. Среди однокоренных фамилий — Затягин, Затяжной, Затяжнов, но форма Затяжных стоит особняком, сразу указывая на родовую принадлежность, а не на личное прозвище.