Фамилия Зауэрбрай — это не русская, а немецкая фамилия, и её разбор требует совершенно другого подхода, чем анализ славянских фамилий на -ов или -ин. В русском языке она встречается редко, и почти всегда её носители — потомки немецких колонистов, переселившихся в Российскую империю в XVIII–XIX веках.

Фамилия составная и прозрачная для немецкого уха: Sauer (кислый) + Brei (каша). Буквально — «кислая каша». В отличие от русских фамилий, которые часто образовывались от имени отца или профессии, немецкие фамилии нередко закреплялись за человеком по его прозвищу, связанному с едой, привычками или внешностью. «Зауэрбрай» могло быть насмешливым прозвищем для того, кто любил или постоянно ел кислую кашу, либо для ворчливого, «кислого» человека. В немецкой ономастике есть целый пласт «гастрономических» фамилий (Зауэркопф, Зауэрброт), и Зауэрбрай стоит в том же ряду.

Словообразовательная модель здесь — чисто немецкая: корень + корень (сложение основ). Никаких суффиксов, типичных для русских фамилий, нет. В русском языке фамилия могла записываться по-разному: через «ф» (Зауэрбрайф) или с ударением на последний слог, но классический вариант — без «ф» на конце, именно так, как она пишется по-немецки.

Если ваши предки носили эту фамилию в России, скорее всего, они были из числа поволжских или причерноморских немцев. В метрических книгах немецких колоний (например, Самарской или Саратовской губерний) эта фамилия встречается, но не массово. В отличие от, скажем, Шмидта или Мюллера, Зауэрбрай — редкая фамилия даже в Германии, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: если она есть в вашем роду, найти конкретную ветвь будет проще, чем по распространённой фамилии.