Фамилия Заурембеков — редкий пример, где русская патронимическая модель (-ов) наложилась на сложное имя восточного происхождения. В отличие от большинства фамилий на -ов, образованных от простых славянских имён или прозвищ, здесь основа — двусоставное тюркское имя Заурембек (или Зауримбек). Разберём его по частям.

Первая часть, «Заур», восходит к арабскому «заура» — «гора», «возвышенность». В переносном смысле имя могло означать «высокий», «почтенный», «обладающий достоинством». Вторая часть, «бек» (тюрк. «bäg»), — титул знати, князя, господина. В составе личных имён «бек» указывало на знатное происхождение или желание родителей видеть сына уважаемым человеком. Таким образом, имя Заурембек можно перевести как «почтенный господин» или «князь высоты» — типичный для тюркских народов комплиментарный антропоним.

Фамилия образована по русскому образцу: к имени Заурембек добавили суффикс -ов, означающий «принадлежащий», «сын». Получается: Заурембеков — «сын Заурембека». Такая модель характерна для народов Северного Кавказа и Поволжья, где в XIX–XX веках под влиянием русской администрации происходила русификация фамилий. Носители фамилии — скорее всего, потомки кумыков, ногайцев, балкарцев или азербайджанцев, у которых имя Заур (в форме Заурбек) встречается до сих пор.

Географически фамилия редка. Встречается преимущественно в Дагестане, Чечне и среди ставропольских туркмен. Интересно, что в некоторых переписях XIX века фиксировались варианты Зауримбеков и Заурбеков — это однокоренные фамилии, где первая часть могла звучать иначе из-за диалектных особенностей (заурим — «мой Заур» с притяжательным аффиксом). Ваш вариант, Заурембеков, — один из самых архаичных, сохранивший полную форму имени без стяжения.

Социально фамилия не указывает на прямое дворянство (бекство), но намекает на уважаемый род: предок носителя, вероятно, был не рядовым общинником, а человеком с положением. В советское время такие фамилии нередко усекали до Зауров, но исходная форма удержалась у тех, кто дорожил родовой памятью.